Изучение квадратных уравнений

С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения.

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений и их систем дробных рациональных, иррациональных, высших степеней.

Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебники разных авторов, таких как А. Исходя из таблицы можно сделать вывод о том, что в учебниках алгебры разных авторов есть сходства и различия. Во всех современных школьных учебниках алгебры методическая линия изучения квадратных уравнений одинакова. В учебнике под ред. Башмакова дается историческая справка, а в других учебниках этого нет.

В учебниках алгебры С. Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа [4, с. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов.

Однако это мало влияет на уже сформированную систему знаний, умений и навыков; они дополняют ее новым фактическим содержанием. Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения.

Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:. Разделив обе части уравнения на 5 получается: Уравнения данного вида решаются по алгоритму:. Например, , это уравнение равносильно уравнению. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5.

Таких чисел только два и. Таким образом, уравнение имеет два корня: Если , Уравнения такого вида решаются по алгоритму:. Перепишем уравнение в виде Это уравнение имеет, очевидно, корни.

Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения получится число, не равное нулю. В итоге получается два корня: Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня. На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: Этот корень находится по формуле. Эти корни находятся по формулам:. Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают. Математики — люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой: Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно — записать сразу формулу 2 и с ее помощью делать необходимые выводы.

Число p — коэффициент при х, а q — свободный член. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения 3 вместо D рассматривается выражение , имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения 4 записывают так: Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф.

Виета , который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Сумма корней равна 7, а произведение равно Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Теорема, обратная теореме Виета. Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.

Курсовая работа: Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе - radianjaya.com

Напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы.

В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы.

Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся.

Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Таким образом, неполные и приведенные квадратные уравнения имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Методика изучения квадратных уравнений в различных школьных учебниках С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать: Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей: Неполные квадратные уравнения 2.

Неполные квадратные уравнения 3. Полные квадратные уравнения 3. Полные квадратные уравнения 4. Приведенные квадратные уравнения 4.

Приведенные квадратные уравнения 5. Теорема, обратная теореме Виета 6. Теорема обратная теореме Виета Исходя из таблицы можно сделать вывод о том, что в учебниках алгебры разных авторов есть сходства и различия. Уравнения такого вида решаются по алгоритму: Уравнения данного вида решаются по алгоритму: Если , Уравнения такого вида решаются по алгоритму: Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения: Эти корни находятся по формулам: Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.

Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители Таким образом, неполные и приведенные квадратные уравнения имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.



COPYRIGHT © 2016-2017 radianjaya.com